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《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》考試大綱
專業(yè)代碼:070101、070102、070103、070104
專業(yè)名稱:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)
考試科目代碼:840考試科目名稱:實(shí)變函數(shù)與泛函分析
(一)考試內(nèi)容
試題以程其襄等編著《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(第二版)(高等教育出版社,2003年12月,北京)為藍(lán)本,內(nèi)容涵蓋該教材的第一至五章和第七至十章,以可測(cè)函數(shù)、積分論和有界線性算子的知識(shí)為主,兼顧測(cè)度論、賦范線性空間和內(nèi)積空間等方面的內(nèi)容。試題重點(diǎn)考查的內(nèi)容:
一、測(cè)度論
1.外測(cè)度
2.可測(cè)集
二、可測(cè)函數(shù)
1.可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)
2.葉果洛夫定理與魯津定理
3.依測(cè)度收斂
三、積分論
1.勒貝格積分的定義及性質(zhì)
2.一般可積函數(shù)
3.積分的極限定理與富比尼定理
四、賦范線性空間和有界線性算子
1.賦范線性空間和巴拿赫空間
2.有界線性算子和連續(xù)線性泛函
五、內(nèi)積空間
1.投影定理
2.希爾伯特空間的規(guī)范正交系和連續(xù)線性泛函
六、巴拿赫空間中的基本定理
1.泛函延拓定理
2.綱定理、一致有界性定理、逆算子定理和閉圖像定理
3.強(qiáng)收斂、弱收斂和一致收斂
(二)考試的基本要求
1.基本概念清晰
對(duì)可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、勒貝格積分、賦范線性空間、有界線性算子、內(nèi)積空間等基本概念的理解要清晰全面。
2.知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用
注重各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用。例如:能熟練運(yùn)用可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、勒貝格積分的各種性質(zhì)解決積分論中的綜合性問(wèn)題;能運(yùn)用有界線性算子和連續(xù)線性泛函的理論解決具體實(shí)例中的范數(shù)問(wèn)題;能熟練運(yùn)用內(nèi)積空間中的Bessel不等式和Parseval等式;能理解強(qiáng)收斂、弱收斂和一致收斂的區(qū)別和聯(lián)系,等等。
(三)考試形式
筆試、閉卷
(四)考試基本題型
基本題型可能有:填空題、計(jì)算題、解答題和證明題等。
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