南開(kāi)大學(xué) - 話題

南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院：《高等代數(shù)》考試大綱


（一）多項(xiàng)式


考試內(nèi)容
數(shù)域；一元多項(xiàng)式；整除的概念及性質(zhì)；最大公因式及輾轉(zhuǎn)相除法；互素的概念及性質(zhì)；不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)；因式分解及唯一性定理。
考試要求
1.掌握數(shù)域、一元多項(xiàng)式的概念，了解一元多項(xiàng)式的運(yùn)算及性質(zhì)。
2.掌握多項(xiàng)式整除的概念，了解相關(guān)的性質(zhì)。
3.掌握最大公因式的概念，了解輾轉(zhuǎn)相除法。
4.理解互素的概念，掌握兩個(gè)一元多項(xiàng)式互素的充分必要條件。
5.了解不可約多項(xiàng)式的概念及其性質(zhì)。
6.了解一般系數(shù)的多項(xiàng)式的因式分解定理，掌握復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。

(二)行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式計(jì)算；行列式按行（列）展開(kāi)；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會(huì)應(yīng)用行列式概念計(jì)算行列式，會(huì)利用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式，會(huì)運(yùn)用矩陣的初等行（列）變換計(jì)算行列式。

(二)行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式計(jì)算；行列式按行（列）展開(kāi)；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會(huì)應(yīng)用行列式概念計(jì)算行列式，會(huì)利用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式，會(huì)運(yùn)用矩陣的初等行（列）變換計(jì)算行列式。

(二)行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式計(jì)算；行列式按行（列）展開(kāi)；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會(huì)應(yīng)用行列式概念計(jì)算行列式，會(huì)利用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式，會(huì)運(yùn)用矩陣的初等行（列）變換計(jì)算行列式。

(三)向量和矩陣
考試內(nèi)容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價(jià)；向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。
矩陣的概念；矩陣的基本運(yùn)算；矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價(jià)；分塊矩陣及其運(yùn)算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的方法。
3.理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。
4.理解向量組等價(jià)的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，熟悉它們的基本性質(zhì)。
6.掌握矩陣的數(shù)乘、加法、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。掌握方陣的多項(xiàng)式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關(guān)系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運(yùn)算。

(三)向量和矩陣
考試內(nèi)容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價(jià)；向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。
矩陣的概念；矩陣的基本運(yùn)算；矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價(jià)；分塊矩陣及其運(yùn)算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的方法。
3.理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。
4.理解向量組等價(jià)的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，熟悉它們的基本性質(zhì)。
6.掌握矩陣的數(shù)乘、加法、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。掌握方陣的多項(xiàng)式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關(guān)系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運(yùn)算。

(三)向量和矩陣
考試內(nèi)容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價(jià)；向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。
矩陣的概念；矩陣的基本運(yùn)算；矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價(jià)；分塊矩陣及其運(yùn)算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的方法。
3.理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。
4.理解向量組等價(jià)的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，熟悉它們的基本性質(zhì)。
6.掌握矩陣的數(shù)乘、加法、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。掌握方陣的多項(xiàng)式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關(guān)系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運(yùn)算。

(四)線性方程組
考試內(nèi)容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；解空間及其維數(shù)；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會(huì)用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(四)線性方程組
考試內(nèi)容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；解空間及其維數(shù)；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會(huì)用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(四)線性方程組
考試內(nèi)容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；解空間及其維數(shù)；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會(huì)用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(五)二次型
考試內(nèi)容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形；正定二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質(zhì)，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關(guān)系。
2.理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、秩、規(guī)范形的概念以及慣性定理，了解復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
4.理解二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的概念及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判別法。

(五)二次型
考試內(nèi)容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形；正定二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質(zhì)，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關(guān)系。
2.理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、秩、規(guī)范形的概念以及慣性定理，了解復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
4.理解二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的概念及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判別法。

(五)二次型
考試內(nèi)容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形；正定二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質(zhì)，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關(guān)系。
2.理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、秩、規(guī)范形的概念以及慣性定理，了解復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
4.理解二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的概念及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判別法。

(六)線性空間
考試內(nèi)容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質(zhì)；線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)；線性空間中的基變換與坐標(biāo)變換；過(guò)渡矩陣；線性子空間及其運(yùn)算；線性空間的同構(gòu)。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。
4.掌握線性空間的基變換和坐標(biāo)變換及過(guò)渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數(shù)的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運(yùn)算及其性質(zhì)。
7.了解線性空間同構(gòu)的概念，了解同構(gòu)映射的性質(zhì)。

(六)線性空間
考試內(nèi)容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質(zhì)；線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)；線性空間中的基變換與坐標(biāo)變換；過(guò)渡矩陣；線性子空間及其運(yùn)算；線性空間的同構(gòu)。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。
4.掌握線性空間的基變換和坐標(biāo)變換及過(guò)渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數(shù)的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運(yùn)算及其性質(zhì)。
7.了解線性空間同構(gòu)的概念，了解同構(gòu)映射的性質(zhì)。

(六)線性空間
考試內(nèi)容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質(zhì)；線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)；線性空間中的基變換與坐標(biāo)變換；過(guò)渡矩陣；線性子空間及其運(yùn)算；線性空間的同構(gòu)。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。
4.掌握線性空間的基變換和坐標(biāo)變換及過(guò)渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數(shù)的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運(yùn)算及其性質(zhì)。
7.了解線性空間同構(gòu)的概念，了解同構(gòu)映射的性質(zhì)。

七)線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的運(yùn)算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項(xiàng)式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質(zhì)；矩陣可對(duì)角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質(zhì)。
2.熟悉線性變換的運(yùn)算及其性質(zhì)。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，會(huì)求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關(guān)于特征多項(xiàng)式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

七)線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的運(yùn)算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項(xiàng)式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質(zhì)；矩陣可對(duì)角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質(zhì)。
2.熟悉線性變換的運(yùn)算及其性質(zhì)。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，會(huì)求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關(guān)于特征多項(xiàng)式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

七)線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的運(yùn)算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項(xiàng)式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質(zhì)；矩陣可對(duì)角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質(zhì)。
2.熟悉線性變換的運(yùn)算及其性質(zhì)。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，會(huì)求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關(guān)于特征多項(xiàng)式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

(

(八)λ-矩陣

考試內(nèi)容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價(jià)概念及等價(jià)的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關(guān)系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價(jià)等概念，掌握判定λ-矩陣等價(jià)的充分必要條件。
3.會(huì)用初等變換求λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關(guān)系。
5.掌握兩個(gè)矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

(

(八)λ-矩陣

考試內(nèi)容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價(jià)概念及等價(jià)的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關(guān)系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價(jià)等概念，掌握判定λ-矩陣等價(jià)的充分必要條件。
3.會(huì)用初等變換求λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關(guān)系。
5.掌握兩個(gè)矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

一分鐘是多少秒？（答案為數(shù)字）

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