南開大學(xué) - 話題

南開大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱
本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱適用于南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科（包括南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陳省身數(shù)學(xué)所，組合數(shù)學(xué)中心等）各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。數(shù)學(xué)分析是一門具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)和積分學(xué)（含廣義積分）、級數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)（含參變量積分）等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，理解數(shù)學(xué)分析的基本理論，熟練掌握數(shù)學(xué)分析的各種運算，理解數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法�！∫�求考生具有較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
考試內(nèi)容：


1．分析基礎(chǔ)：


極限： 數(shù)列與函數(shù)極限的定義， 收斂數(shù)列的性質(zhì)與極限的四則運算，數(shù)列斂散的判別法， 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算法則，無窮大量與無窮小量，實數(shù)的基本理論（包括：確界原理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，致密性原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理等），上極限和下極限，多元函數(shù)的極限概念與性質(zhì)。


連續(xù)函數(shù)： 連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)， 初等函數(shù)的連續(xù)性，一致連續(xù)， 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的連續(xù)性。


2．導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)函數(shù)的計算，高階導(dǎo)數(shù)， 微分，微分中值定理， 函數(shù)的單調(diào)性和極值， 函數(shù)的凸性，洛必達法則，泰勒公式。


3．不定積分： 不定積分的概念， 換元積分法， 分部積分法，有理函數(shù)的積分， 三角函數(shù)有理式的積分，和某些無理函數(shù)的積分。


4．定積分： 定積分的概念與計算， 定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，換元積分法。


定積分在幾何計算中的應(yīng)用，


5．多元函數(shù)的微分學(xué)：偏導(dǎo)數(shù)概念與計算，全微分的概念，方向?qū)��?shù)及梯度的性質(zhì)，多元函數(shù)的泰勒公式，隱函數(shù)存在定理，極值理論。


6．重積分：重積分的概念與性質(zhì)，重積分的計算。


7．曲線積分與曲面積分： 第一型曲線積分，第二型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲面積分，各種積分之間的聯(lián)系，曲線積分與路徑無關(guān)的條件。


8．?dāng)?shù)項級數(shù)： 級數(shù)收斂性的概念和基本性質(zhì)，正項級數(shù)收斂差別法，任意項級數(shù)收斂差別法�！�


9．廣義積分： 無限區(qū)間上的廣義積分，有限區(qū)間上無界函數(shù)的廣義積分。


10．一致收斂： 函數(shù)列的一致收斂性，一致收斂與極限換序。


11．函數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法，冪級數(shù)的性質(zhì)，泰勒級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開，傅里葉級數(shù)的性質(zhì)。


12．含參變量積分：含參變量的正常積分，含參變量的廣義積分。

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