考研數(shù)學(xué) - 話題

　黃先開：很高興有這么一個機會，把我對考研，特別是線性代數(shù)這一部分主要的內(nèi)容跟大家交換一下意見。實際上線性代數(shù)這部分，同學(xué)們經(jīng)常走兩個極端，有一部分同學(xué)感覺線性代數(shù)這部分是比較好掌握的，也有一部分同學(xué)感覺這部分難度比較大，這個跟線性代數(shù)本身的特點應(yīng)該說是緊密相連的。大家知道，線性代數(shù)前后知識的聯(lián)系非常緊密，所以我們在這一部分復(fù)習(xí)的時候，一定要抓住我們線性代數(shù)的前后聯(lián)系的這樣一些關(guān)鍵點，把知識連貫起來，我們就會發(fā)現(xiàn)，掌握起來是比較容易的。整個線性代數(shù)，我個人認(rèn)為，可以分成三大塊內(nèi)容。第一部分，行列式和矩陣，是我們線性代數(shù)的基礎(chǔ)部分，基礎(chǔ)部分一般來講不考大題。以這個為基礎(chǔ)，另外兩部分，一部分是向量和線性方程組，一般情況下每年在這個部分考一個大題，還有特定向量與二次型，其次特別是二次型，也可以看作同一件事情的兩個不同方面，因為大家知道，二次型，和對稱矩陣構(gòu)成了一一對應(yīng)的關(guān)系，二次型也很重要，總的基本上是這樣一個狀況。

　　網(wǎng)友：今年線性代數(shù)哪些部分是出題點？

　　黃先開：實際上我剛才大致說了一下，整個線性代數(shù)一到四都是考五個題，填空題和選擇題考三個，剩下的兩個大題，兩個大題出題點我剛才也說了一下，把向量和方程組掌握好，考得最多的是向量和一組向量的問題，也可以是直接地考含有參變量的求解，所以不管是考向量的關(guān)系，還是考方程組的解，他們聯(lián)系的紐帶，或者最本質(zhì)的東西就是圍繞這個矩陣的秩來考大家的。在向量這部分的大題，一般來講，是三個點，就是涉及到向量的概念，涉及到相似和對角化，涉及到性質(zhì)，這三部分都很典型，至于填空題和選擇題，填空題是考大家的知識面，考試中任何一個知識點都有可能考大家，數(shù)學(xué)一也不能忽視，比如向量空間里的極變，坐標(biāo)的換算，考試當(dāng)中要你掌握的任何一個知識點都有可能通過填空題來考，設(shè)計這個題型的目的就是看大家是不是整個知識點都掌握了，選擇題是考大家的判斷能力，選擇題一般不是考計算題，就是考基本概念，基本理論，基本方法，這些你確確實實搞清楚了，特別是對一些似是而非的問題，很典型的，可以通過選擇題考你，這樣的話平常我們復(fù)習(xí)的過程中，應(yīng)該對這種似是而非的情況有一個比較清晰的概念，不能證明的，或者說不正確的結(jié)論，一些常識性的反例，要平常有意識地積累，我們考試的時候直接把這種反例帶進(jìn)去，通過排除的方法，這種方式是比較快速準(zhǔn)確地找到選擇題的答案的好的方法。

　　線性代數(shù)沖刺階段怎么復(fù)習(xí)？

　　網(wǎng)友：線性代數(shù)沖刺階段，應(yīng)該怎么復(fù)習(xí)？復(fù)習(xí)的時候應(yīng)該注意一些什么？

　　黃先開：剛才我也大致說了一下，就是前后的聯(lián)系非常緊密，知識點比較多，有時候如果不注意聯(lián)系的話，你會感覺知識點很零散，所以這一部分的復(fù)習(xí)，我認(rèn)為一方面是基本概念基本理論基本方法，這是我們必須要花時間確確實實搞清楚的，這也是我們歷年考試最主要的部分，有了這個基礎(chǔ)以后，要注意到前后知識的聯(lián)系，而前后知識的聯(lián)系，做一些很有特點的重要的公式和結(jié)論，你把這些公式和結(jié)論很好地把握了，又注意到前后的知識的聯(lián)系，抓住這些規(guī)律性的東西，再通過我們適當(dāng)?shù)木毩?xí)來鞏固這些前后知識的聯(lián)系，我認(rèn)為線性代數(shù)這一部分應(yīng)該不會出特別偏的題，特別怪的題，你把這些基礎(chǔ)的東西打扎實了，把一些重要的公式和結(jié)論記牢了，再通過典型的題型強化，這樣的話就復(fù)習(xí)到位了。

　　網(wǎng)友：線性代數(shù)部分怎么樣系統(tǒng)地復(fù)習(xí)？

　　黃先開：一定要注意前后的聯(lián)系。

　　網(wǎng)友：高數(shù)、線代、概率與數(shù)理統(tǒng)計這三部分復(fù)習(xí)時間應(yīng)該怎么安排比較合理？

　　黃先開：根據(jù)你自己復(fù)習(xí)的情況，哪部分比較弱一點，適當(dāng)可以多花一點時間，但總的來講，不管這三部分是哪一部分，我認(rèn)為大家都應(yīng)該在這一階段復(fù)習(xí)的時候，通過做題歸納、總結(jié)、提煉，爭取上升到一個比較高一點的角度，來看待我們所有的知識，看待我們這樣的知識之間的前后聯(lián)系，比如概率統(tǒng)計，對一部分同學(xué)來講，他感覺比較生疏一點，在本科學(xué)習(xí)的時候在這部分花的時間少了一點，但這部分的分值也是很高的。這部分復(fù)習(xí)的時候，我們除了每個章節(jié)做題以后，我們還要思考一下，到底概率統(tǒng)計有哪些問題。最終我們總結(jié)一下，本質(zhì)上應(yīng)該就是三類問題，一類是概率計算，一類是涉及變量及分布，一類是特征問題，概率的計算有五點，有通過隨即事件計算概率。所以平常的話，你可能一章節(jié)一章節(jié)復(fù)習(xí)，到最后階段我就可以把這個問題提煉出來，因為很多問題到最后，其實就化為求概率了，你對這個求概率，從這個角度，原來可能是一章節(jié)一章節(jié)地縱向走，現(xiàn)在我從橫向的角度把這個問題再歸類，一涉及到概率，我馬上想到有哪些方法和途徑，線性代數(shù)也是這樣，我們按照行列式本章的方法計算以外，還有矩陣或者方陣的知識來計算。你從另一個角度歸類的時候。無非是三個途徑，一個是性質(zhì)，第二個利用方陣的行列性利用線性計算，第三個利用相似矩陣來計算，我們把這些知識全部做完了，在一定的做題基礎(chǔ)上，如果進(jìn)行這樣的歸類和總結(jié)，到最后你要記憶的就是很小一部分了，這樣的話一個題一出來，你就知道有哪些知識點，我可以從哪些角度進(jìn)行思考，在做題過程中，基本的方法是什么？有沒有做題的技巧，有沒有隱含的條件，前后的知識怎么樣連貫的，這么歸類，就是這么幾種情況，你這樣的心態(tài)去考試的話，信心就更足了。

　　線性代數(shù)部分疑難問題解答

　　網(wǎng)友：對角陣與分塊矩陣有哪些聯(lián)系。

　　黃先開：分塊矩陣我認(rèn)為是四種比較簡單的，可以分成四塊的情況，大家可以適當(dāng)記一下，其他沒有必要記，也不會這樣考大家。

　　網(wǎng)友：我的數(shù)學(xué)這個月才復(fù)習(xí)，我是數(shù)四的考生，我只看八九年之后的真題，行嗎？

　　黃先開：現(xiàn)在開始復(fù)習(xí)時間是緊了點，但是跟你的效率也有很大的關(guān)系，我建議你把教材的例題和習(xí)題全部做一遍，在這個基礎(chǔ)上把歷年的考題做一下，89年以后的就沒有問題了，剩下的就是88、87了，這兩年是北京市出的題，所以真正我們教育部考試中心統(tǒng)一命題的就是89年開始的，把歷年真題自己做下來，我認(rèn)為去參加考試，一般過關(guān)是沒有很大的問題。

　　網(wǎng)友：今年數(shù)二會不會考實對稱矩陣相似化。

　　黃先開：作為實對稱矩陣，數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)二數(shù)學(xué)四，我們考數(shù)學(xué)二沒有要求這個知識點，在實對成矩陣這一塊，更多的是，大家知道，實對稱成矩陣一定是可對角化的，第二個，就是考數(shù)學(xué)二的同學(xué)特別要注意，實對稱成矩陣。一般他只會從這兩點考你。

　　網(wǎng)友：特殊矩陣的逆矩陣這部分有什么好的復(fù)習(xí)方法。

　　黃先開：因為我們講的特殊矩陣，主要是單位矩陣，數(shù)量矩陣，對角形的矩陣，這些矩陣應(yīng)該說是非常的簡單，其他的特殊矩陣，我認(rèn)為談不上，沒有一般的規(guī)律。

　　網(wǎng)友：要證明一組向量與線性無關(guān)，應(yīng)該從哪里入手。

　　黃先開：如果是這組向量具體元素告訴我們了，一般來講是通過變換題型，求出來方程組的值，對于抽象的向量組，根本沒有告訴我們具體元素的，到現(xiàn)在為止考過我們的，我認(rèn)為只有兩個方面，一個是用定義來做，還有一個方法就是把這樣一種抽象的向量轉(zhuǎn)化為某一個矩陣的行向量組，利用矩陣求值的方法來判定。

　　網(wǎng)友：矩陣可逆與矩陣的秩有何關(guān)系？

　　黃先開：這個矩陣必須是方陣的時候才談得上是不是可逆，如果是以方陣，他可逆的重要條件就是這個矩陣的值是哪個值，如果這個矩陣不是方陣，談不上逆的問題，也就跟值沒有關(guān)系了。

　　網(wǎng)友：對于給了兩個都含有未知參數(shù)的矩陣，怎么證明相似。

　　黃先開：一個是行列式相等，對角線上的元素相加是相等的，第二個途徑相似矩陣也有相同的特征多相似。

　　網(wǎng)友：今年凱萊哈密爾頓定理會不會考。

　　黃先開：肯定不考。

　　網(wǎng)友：由于矩陣的特征向量以及方程組的解不唯一，在填空時應(yīng)該怎么辦？

　　黃先開：一般情況下這種題他盡量不這樣設(shè)計，否則給判卷帶來困難。有的話，他的解只有一個。如果有兩個甚至以上的解，我這個解不唯一，判卷就非常困難，標(biāo)準(zhǔn)答案很難找了，即使設(shè)計了不唯一，只要你正確解答了就沒有問題。

　　網(wǎng)友：今年考二次型配方法的可能性大不大？

　　黃先開：可能性非常小，我們這么多年直接考配方法都沒有考過，但是配方法最簡單的原理應(yīng)該清楚，可能等角變換化也能做，配方法也能做，但是配方法更簡單一些。這個比較偏一點的知識，他沒有必要這么考。

　　網(wǎng)友：向量組的線性標(biāo)識一般出什么題型。

　　黃先開：考的最多的就是一組向量和一個向量本身他們帶有參數(shù)，問你這些參數(shù)取什么值的時候，這個向量能否用這一組向量表示，什么時候的表示方法是唯一的，什么時候的表示方法是不唯一的，這是很典型的方式。其實可以看作是多個方程組是不是有解的問題，把一組向量能不能用另一組向量同時解決。這種情況去年已經(jīng)考過，大家還是要注意的。

　　網(wǎng)友：我的空間感不好，怎么復(fù)習(xí)向量空間？

　　黃先開：靈活應(yīng)用知識的能力，當(dāng)然也包括計算能力，也包括我們抽象的推理的能力，也包括我們空間的想象能力，所以這種空間的想象能力，應(yīng)該說跟數(shù)一結(jié)合比較緊密的就是空間解析幾何，這本身涉及到平面和向量之間的關(guān)系，對應(yīng)到我這個平面和向量，就是這個直線，他們相應(yīng)的法線和方向的關(guān)系，這種情況，我認(rèn)為大家學(xué)習(xí)的時候，還是應(yīng)該對最基本的這種空間的一種表述，以及空間的圖形要有一個直觀的印象，所以在這部分復(fù)習(xí)的時候，如果考數(shù)一的同學(xué)，我個人認(rèn)為平面和直線的位置關(guān)系，把二次曲面這塊和我們線面這塊聯(lián)系起來考，不一定單獨命題，但是高數(shù)只有五個大題了，這部分知識，和其余部分的知識聯(lián)系起來命題，應(yīng)該是一種比較典型的表現(xiàn)形式，這有一個過程，還是應(yīng)該通過我們適當(dāng)?shù)陌鸦�本概念基本理論，基本方法掌握了以后通過一定的做題，通過平常有意識地把圖形適當(dāng)?shù)禺嬕划�，了解空間的背景，但沒有要求你畫得很精確，在畫圖的過程中培養(yǎng)我們空間的想象能力。

　　網(wǎng)友：我考數(shù)三，向量會不會是重點。

　　黃先開：是重點。

　　網(wǎng)友：秩的用途都是什么，從哪些方面考慮。

　　黃先開：秩是貫穿是我們整個線性代數(shù)。這個秩和我們矩陣也可以聯(lián)系起來，作為一個方陣，如果是滿值的就統(tǒng)一，否則就不同意。這個矩陣的值和方程組也有聯(lián)系。這個矩陣的值和特征值也有關(guān)系。這個值其實跟我們線性代數(shù)的所有內(nèi)容都可以聯(lián)系起來，如果我們做題的時候，你把其余部分的問題，如果你都把他對應(yīng)到和值聯(lián)系起來，你就發(fā)現(xiàn)，我們前面的線性代數(shù)的知識點就一下子都聯(lián)系起來了。

　　網(wǎng)友：一般的線性代數(shù)部分，會出幾道大題。

　　黃先開：都是兩道大題。

　　網(wǎng)友：二次型是重點嗎？

　　黃先開：這兩年二次型直接命題也考了，考大題比較少一些，前面我開始說了，二次型和實對稱矩陣構(gòu)成了一一對應(yīng)的關(guān)系，我們一上來看到一個二次型大題，實際上馬上聯(lián)想到，這個二次型對稱的實矩陣，馬上聯(lián)系分析這個實對稱矩陣的性質(zhì)，如果我們數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)三根本沒有出現(xiàn)這個二次型，我們就要注意一下有沒有考實對稱矩陣。實際上已經(jīng)比較好的出題的形式，數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)三，可以通過考一個二次型的東西，也可以考一個實對稱矩陣，把這個問題反到二次型上去，這個命題的形式就把兩部分的知識有機聯(lián)系起來了。

　　網(wǎng)友：做證明題應(yīng)該注意一些什么情況？

　　黃先開：所以我們做證明題的時候，一個是我們自己在草稿紙上找思路的時候，有的證明題他的證明過程，應(yīng)該是比較明顯的，平常我們也做得比較多的，所以沒有必要再分析他了，如果平常不是特別注意的問題，或者平常我們做這種證明題不是一下能找到思路的，這種情況我們也可以反過來考慮，從結(jié)論開始，然后反推，需要什么條件，我現(xiàn)有的條件是不是都滿足了，我們再推到我們的結(jié)論，具體寫步驟的時候，每步一定要寫清楚，而且每一步都應(yīng)該有依據(jù)，這樣的話我們按步給分，即使個別時候沒有做到，最后的完整答案出來，但是按步給分也可以拿到一些分?jǐn)?shù)，一般情況下非數(shù)學(xué)專業(yè)的考試，證明題不是最主要的。

　　網(wǎng)友：在數(shù)學(xué)中的N階常系數(shù)是重要知識點嗎？

　　黃先開：這種題其實很綜合，把向量問題，把矩陣的問題綜合在一起，這些題考得太多了，大家比較熟，但是還是歷年考試的重點問題。

　　網(wǎng)友：我在求線性方程組解的時候總是感覺不太順手，有沒有更好的辦法。

　　黃先開：他的解題的思路應(yīng)該是比較有規(guī)律的。我們這樣一個階梯上的元素一定要注意到選取正負(fù)一，盡量不要出現(xiàn)分式，達(dá)到我們簡化計算的目的，否則的話不注意這點，有可能你計算的過程中就出現(xiàn)差錯，使整個解答不能完整，再有就是帶有參數(shù)討論的時候，也是值得注意的，能不討論盡量不討論，不得不討論的時候，也盡量討論簡單一點的情況，這有一個實踐的過程，有大量的做題的時候你才能體會到這一點，還有，我們做真題模擬的時候。一般情況下我們不鼓勵，但是我們個別學(xué)得很好的同學(xué)可以嘗試，僅僅是交換兩列，同時把位置也交換，這就是做題的技巧的問題。

　　網(wǎng)友：特殊值和特殊向量這部分是不是重點，今年出題的可能性大不大？

　　黃先開：每年我們數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，肯定要考一個大題，這部分肯定是重點內(nèi)容，也是相對比較難一點的內(nèi)容，這部分可以考向量的計算，也可以考向量對角化，這部分的核心還是相似和對角化，這種情況，可對角化的條件是有N個向量，實際考試的時候，大家可以把這個問題簡化，特別是實際考試的時候一般考三級方根，一般考一個二級根和單根，考不考對角化，其實就把二重根，也就是N減去我這樣一個二重根對應(yīng)的特征矩陣的值是不是等于二，也就是我們這個矩陣的值是不是等于一，就是把是不是相似和對角化的問題轉(zhuǎn)化為特征矩陣的值的問題，只要一談到值，就和我們向量這一部分聯(lián)系起來了，線性代數(shù)的前后知識聯(lián)系是特別緊密的，但是這部分圍繞對角化來考是最多的。

　　網(wǎng)友：我考數(shù)四，線性方程組這部分是不是重點？

　　黃先開：這部分一直是重點，如果他提出比較直白一點，大家平常這種題型也見得比較多一些，這種題是傳統(tǒng)的綜合題，也是現(xiàn)在為止考得最多的，這種題型，相對來說大家還是比較熟悉的，但是這種題，我的建議是什么呢，就是把以前考過的這個題，你不要看標(biāo)準(zhǔn)答案是什么，從頭至尾按照你自己的理解把完整的答案算出來，經(jīng)常有的同學(xué)，如果平常動筆比較少一些，會發(fā)現(xiàn)，知道怎么算，可是不能把全部的分拿到，這是很可惜的。

　　網(wǎng)友：黃老師，去年數(shù)一線性代數(shù)考了特征方程，概率考了矩陣，是不是近幾年就不會再重復(fù)了，復(fù)習(xí)的重點是不是傾向于一些去年沒有考的知識點？

　　黃先開：他其實應(yīng)該說是今年考吧。其實我們最近這幾年，如果我們看看線性代數(shù)的考題，相對來講我認(rèn)為還是很有規(guī)律了，我前面說的，兩個大題，一個就是圍繞向量和線性方程組，一個是圍繞特征向量和線性方程組考，線性代數(shù)就是三大塊，圍繞行列式和矩陣直接考一個大題，但是這種考得相當(dāng)少，即使考也和我們后面的向量和向量線性方程組結(jié)合。

　　網(wǎng)友：沖刺階段一定要上輔導(dǎo)班嗎，輔導(dǎo)班考前押題嗎？

　　黃先開：這是因人而異的，輔導(dǎo)班想解決的是個什么問題呢？實際從我們沖刺階段，輔導(dǎo)班的目的，我也跟我們同學(xué)們分析過，到這個階段，可能大家或多或少地做過模擬題，做完了以后，如果你把書蓋上以后，你思考一下，出問題到底出在什么地方？一種情況我認(rèn)為就是，可能完全自己粗心大意算錯的，第二種情況，明明這個題我會做，但是我花了很長的時間才做出來，還有一種情況，就是這個題的條件和結(jié)論，前后的聯(lián)系我都清楚，但是把這個題放在一起來的時候，把這么多條件放在一起的時候，他內(nèi)在的聯(lián)系是什么，有的時候可能不能夠很方便地找到，從而使這個題解答不下去。也有一種情況，就是完全這個題沒有思路，但是我相信通過系統(tǒng)地復(fù)習(xí)完了以后，真正拿到一個題一點思路都沒有的，可能是極少極少的，所以我們從此階段要解決的是什么問題，不是第一類粗心大意，這個誰也幫不上你，只能靠自己平常多練習(xí)，多歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)我們到底在什么地方出現(xiàn)粗心大意的。我們這個沖刺班要解決的問題是后面三個部分。就是說我們要搞清楚，你做題很慢，不是你不會做，而是做題過程中間，有沒有一些適當(dāng)?shù)目梢院喕�的處理技巧，第二點就是考我們綜合思維能力，這些條件我都看得懂，但是怎么有機聯(lián)系在一起，到底每門課里含有那些有機的聯(lián)系，這也是我們沖刺班要解決的問題，第三個就是對可能考上的新題型，我們要注意的，我們也希望通過我們講的例題和我們實際的考題能夠接近，但是我們不提倡押題，數(shù)學(xué)沒有必要押題，你真正把后面三個部分搞清楚了，在原來的基礎(chǔ)上有一個很大的提高，這樣的話我相信這種輔導(dǎo)是有意義的。我是怎么理解這一部分內(nèi)容，通過這個輔導(dǎo)班完了以后，你也達(dá)到了這種知識你也可以怎么理解了，我們大家的水平也就都一樣了，我能考上研究生，我想大家也都能考上。

　　關(guān)于參考書和輔導(dǎo)班的選擇

　　網(wǎng)友：希望您介紹一下沖刺階段應(yīng)該看哪些書，有什么模擬試題可以推薦的？

　　黃先開：書呢，有時間多看當(dāng)然是更好了，但把市面上的書都看了也是不現(xiàn)實的，一般在沖刺階段，你已經(jīng)把一般的書看完了，一般的復(fù)習(xí)教材書復(fù)習(xí)完了，我個人認(rèn)為，我們這個沖刺的一個多月的時間里頭，建議大家還是通過做題來復(fù)習(xí)，通過做題來復(fù)習(xí)，強調(diào)必須要做的就是我們歷年考試的真題，數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，大家都可以做一做，這是通過我們命題老師反復(fù)琢磨出來的命題。在這個基礎(chǔ)上適當(dāng)做一些模擬題，這對于我們鞏固知識也是有好處的，在做完真題基礎(chǔ)上有時間有精力可以適當(dāng)做一些模擬題，市面上真正和考題相近的可以說沒有。所以我們自己編的一些模擬題，我們考慮的時候可能比實際的考題略微偏難一點，也是希望大家在平時訓(xùn)練的時候適當(dāng)難一點，實際考試的時候你就會感覺輕松一些，也是希望達(dá)到這個目的，所以平常做這個模擬題的時候，應(yīng)當(dāng)堅持這一點，就是在規(guī)定的時間里頭，不翻看任何輔導(dǎo)書把它做出來，做完了以后你再回過頭來檢查，看看有沒有問題，如果出現(xiàn)問題到底是什么原因的問題，我下次再做模擬題的時候能不能改進(jìn)它。千萬不要邊做題邊看答案，這樣的話效果是比較差的。

　　沖刺階段怎樣做題？

　　網(wǎng)友：現(xiàn)階段是不是要多做模擬題鞏固知識？

　　黃先開：數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)來講，我們自己都是這么一步一步考過來的，我認(rèn)為，有可能單純只是看書，看別人的解答，實際一動筆做題之后可能有很多問題是你發(fā)現(xiàn)不了的，只有通過做題你才能發(fā)現(xiàn)這些問題，看的時候發(fā)現(xiàn)不了，建議大家基本概念基本理論基本方法掌握的情況下，應(yīng)該通過做題找一下自己在知識理解上有沒有缺陷，我們建議盡可能通過做題來復(fù)習(xí)。

　　網(wǎng)友：做模擬試題是做有點難度的好還是和考題接近的好。

　　黃先開：做模擬試你可能很難找到和考題接近的，我們可能適當(dāng)?shù)匾�偏難一點，平常選擇難一點，實際考試的時候就會輕松一些。

50減去30等于多少？

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