考研數(shù)學(xué) - 話題

　從隨機現(xiàn)象說起在自然界和現(xiàn)實生活中，一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，必定會導(dǎo)致某種確定的結(jié)果。舉例來說，在標準大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專門研究和認識這種必然性的，尋求這類必然現(xiàn)象的因果關(guān)系，把握它們之間的數(shù)量規(guī)律。

　　另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，它的結(jié)果是不確定的。舉例來說，同一個工人在同一臺機床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽試驗，各棵種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強弱和早晚的分別等等。為什么在相同的情況下，會出現(xiàn)這種不確定的結(jié)果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現(xiàn)象中，就無法用必然性的因果關(guān)系，對個別現(xiàn)象的結(jié)果事先做出確定的答案。事物間的這種關(guān)系是屬于偶然性的，這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機現(xiàn)象。

　　在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機現(xiàn)象十分普遍，也就是說隨機現(xiàn)象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等，都是隨機現(xiàn)象。因此，我們說：隨機現(xiàn)象就是：在同樣條件下，多次進行同一試驗或調(diào)查同一現(xiàn)象，所的結(jié)果不完全一樣，而且無法準確地預(yù)測下一次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性，是由于一些次要的、偶然的因素影響所造成的。

　　隨機現(xiàn)象從表面上看，似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實踐證明，如果同類的隨機現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性，隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重復(fù)的擲這枚硬幣，就會越來越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。

　　我們把這種由大量同類隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究大量同類隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。

　　概率論的產(chǎn)生和發(fā)展

　　概率論產(chǎn)生于十七世紀，本來是又保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問題的源泉。

　　早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中一個人贏了 a （a三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了《論機會游戲的計算》一書，這就是最早的概率論著作。

　　近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應(yīng)用到國民經(jīng)濟、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。

　　概率論和數(shù)理統(tǒng)計是一門隨機數(shù)學(xué)分支，它們是密切聯(lián)系的同類學(xué)科。但是應(yīng)該指出，概率論、數(shù)理統(tǒng)計、統(tǒng)計方法又都各有它們自己所包含的不同內(nèi)容。

　　概率論-是根據(jù)大量同類隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，對隨機現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，對這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述；比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一整套數(shù)學(xué)理論和方法。

　　數(shù)理統(tǒng)計-是應(yīng)用概率的理論來研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性；對通過科學(xué)安排的一定數(shù)量的實驗所得到的統(tǒng)計方法給出嚴格的理論證明；并判定各種方法應(yīng)用的條件以及方法、公式、結(jié)論的可靠程度和局限性。使我們能從一組樣本來判定是否能以相當大的概率來保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯誤的概率。

　　統(tǒng)計方法-是一上提供的方法在各種具體問題中的應(yīng)用，它不去注意這些方法的的理論根據(jù)、數(shù)學(xué)論證。

　　應(yīng)該指出，概率統(tǒng)計在研究方法上有它的特殊性，和其它數(shù)學(xué)學(xué)科的主要不同點有：

　　第一，由于隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律是一種集體規(guī)律，必須在大量同類隨機現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)出來，所以，觀察、試驗、調(diào)查就是概率統(tǒng)計這門學(xué)科研究方法的基石。但是，作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個分支，它依然具有本學(xué)科的定義、公理、定理的，這些定義、公理、定理是來源于自然界的隨機規(guī)律，但這些定義、公理、定理是確定的，不存在任何隨機性。

　　第二，在研究概率統(tǒng)計中，使用的是“由部分推斷全體”的統(tǒng)計推斷方法。這是因為它研究的對象-隨機現(xiàn)象的范圍是很大的，在進行試驗、觀測的時候，不可能也不必要全部進行。但是由這一部分資料所得出的一些結(jié)論，要全體范圍內(nèi)推斷這些結(jié)論的可靠性。

　　第三，隨機現(xiàn)象的隨機性，是指試驗、調(diào)查之前來說的。而真正得出結(jié)果后，對于每一次試驗，它只可能得到這些不確定結(jié)果中的某一種確定結(jié)果。我們在研究這一現(xiàn)象時，應(yīng)當注意在試驗前能不能對這一現(xiàn)象找出它本身的內(nèi)在規(guī)律。

　　概率論的內(nèi)容

　　概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。

　　概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于 0和 1之間。

　　有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。

　　在客觀世界中，存在大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機變量。

　　隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。

　　在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡單而應(yīng)用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續(xù)的，都有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標準方差。

　　數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容

　　數(shù)理統(tǒng)計包括抽樣、適線問題、假設(shè)檢驗、方差分析、相關(guān)分析等內(nèi)容。抽樣檢驗是要通過對子樣的調(diào)查，來推斷總體的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問題，因此，在抽樣檢查中就產(chǎn)生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進行分析判斷的理論。

　　適線問題也叫曲線擬和。有些問題需要根據(jù)積累的經(jīng)驗數(shù)據(jù)來求出理論分布曲線，從而使整個問題得到了解。但根據(jù)什么原則求理論曲線？如何比較同一問題中求出的幾種不同曲線？選配好曲線，有如何判斷它們的誤差？……就屬于數(shù)理統(tǒng)計中的適線問題的討論范圍。

　　假設(shè)檢驗是只在用數(shù)理統(tǒng)計方法檢驗產(chǎn)品的時候，先作出假設(shè)，在根據(jù)抽樣的結(jié)果在一定可靠程度上對原假設(shè)做出判斷。

　　方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗就可以做出的判斷。

　　由于隨機現(xiàn)象在人類的實際活動中大量存在，概率統(tǒng)計隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機過程、信息論、極限理論、試驗設(shè)計、多元分析等。

北京在中國地圖的東南西北哪個方向？（答案為一個字）

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